De vierkantsvergelijking

\[ \large{ \boldsymbol{ ax^2 + bx + c = 0 } } \] Simon Stevin heeft het Latijnse "quadratum" vertaald als "vierkant". Herken je in kwadraat de term quadra = vier? De term vierkantsvergelijking betekent dat het een kwadratische vergelijking is in \( x \) en die lossen we uiteraard op met de welbekende abc‑formule: \[ a^2 = b^2 + c^2 \] Hè? Wat? Verkeerde formule? Hoezo? Is toch beslist een abc‑formule, hoor! En toch zeker wel een bekende, zou ik zo denken. Heb je in de gaten dat abc‑formule een zéér slechte aanduiding is omdat zij niet duidelijk maakt waar de formule voor dient, edoch slechts welke symbolen ze bevat? De oplossing van de vierkantsvergelijking vind je natuurlijk met: \[ \large{ \boldsymbol{ x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} } {2a} } } \] We gaan dat een beetje herschrijven: \[ x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac} } {2a} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{\left(2a\right)^2} } = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} } \] ofwel: \[ \large{ \boldsymbol{ x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} } } } \] We normaliseren nu de vierkantsvergelijking: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] tot: \[ x^2 + \left(\frac{b}{a}\right)x + \frac{c}{a} = 0 \] en na een simpele substitutie wordt dat: \[ \large{ \boldsymbol{ x^2 + px + q = 0 } } \] hetgeen we oplossen met: \[ \large{ \boldsymbol{ x_{1,2} = -½p \pm \sqrt{\left(½p\right)^2 - q } } } \] oftewel de pq‑formule... Vermenigvuldiging van \( x_1 \) en \( x_2 \) levert: \[ \begin{eqnarray} x_1 \cdot x_2 & = & \left( \left(-½p\right) + \sqrt{\left(½p\right)^2 - q } \: \right) \left( \left(-½p\right) - \sqrt{\left(½p\right)^2 - q } \: \right) \\ & = & \left(-½p\right)^2 - \sqrt{\left(½p\right)^2 - q }^2 \\ & = & \left(-½p\right)^2 - \left(\;\left(½p\right)^2 - q \right) \\ & = & \quad ¼p^2 \;\: - \quad\, ¼p^2 \:\: + q \end{eqnarray} \] en dat result dus heel mooi in: \[ \large{ \boldsymbol{ x_1 \cdot x_2 = q } } \] Als we \( x_1 \) en \( x_2 \) bij elkaar tellen valt die \( \pm \)wortel helemaal weg en \( -½p - ½p = -p \), dus: \[ \large{ \boldsymbol{ x_1 + x_2 = - p } } \] Let op het minteken! Met een beetje rekenvaardigheid, handigheid en geluk kun je de nulpunten van de vierkantsvergelijking nu dus gewoon blootshoofds vinden, rekenmachientjes zijn voor watjes! \[ \large{ \boldsymbol{ ax^2 + bx + c = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} } } \] Let op de tekens! \( +b \) in de vergelijking levert \( -b \) in de som, \( -b \) in de vergelijking levert \( +b \) in de som. Ook de tekens van \( a \) en \( c \) moet je uiteraard goed meenemen en als \( c/a \) negatief is hebben \( x_1 \) en \(x_2 \) een verschillend teken!