De Paasdatum (met "rekenmachine") - Copyright (c) 1999-2006 H.Reints

Het berekenen van de Paasdatum.

Klik hier voor meer gedetailleerde informatie (Engels).

Het zal iedereen opvallen dat de paasdatum door de jaren heen nogal grillig verspringt en daarmee ook de met Pasen samenhangende data van Pinksteren (7 weken na Pasen), Hemelvaart (10 dagen voor Pinksteren) en carnaval (7 weken voor Pasen). Dit komt doordat de paasdatum afhankelijk is van zowel de omloop van de aarde om de zon (het z.g. tropisch jaar) als van de omloop van de maan om de aarde (een maanmaand). Omdat de hemellichamen nu eenmaal niet met tandwielen aan elkaar zijn gekoppeld past er niet precies een geheel aantal maanmaanden in een zonnejaar, waardoor de paasdatum per jaar nogal grillig verspringt. Waarom deze koppeling met de zon en de maan?

Op de eerste plaats is Pasen van oorsprong geen christelijk feest. De Joden kenden het paasfeest reeds lang voor Christus (zij herdenken dan de Exodus, de uittocht der Joden uit Egypte o.l.v. Mozes) en van oorsprong is het vermoedelijk een lentefeest dat alles met vruchtbaarheid te maken heeft (de eieren zijn daar nog steeds een symbool van). Een lentefeest is uiteraard afhankelijk van de seizoenen en dus van de omloop van de aarde om de zon.

De koppeling met de maan vindt zijn oorsprong in het feit dat men in de oudheid in het algemeen kalenders hanteerde die waren gebaseerd op de maanfasen (maankalender) en niet op de seizoenen (zonnekalender). Dit omdat je met een maankalender wat nauwkeuriger korte-termijn tijdmetingen kunt doen en tevens omdat de gehele tijdrekening voornamelijk was gebaseerd op nachtelijke astronomische waarnemingen. Ook de Joodse en de islamitische kalenders zijn maankalenders.

Met name de Joodse kalender is voor de paasdatum van belang. De Joodse kalender heeft maanden die altijd beginnen bij nieuwe maan (vroeger op basis van waarneming, sinds 359 na Chr. volgens een - zeer nauwkeurig - rekenschema). Het Joodse jaar bestaat soms uit 12 en soms uit 13 maanden volgens een schema waarbij de eerste maand van het jaar, Nisan, altijd begint op de nieuwe maan die het dichtst bij het begin van de lente ligt. Nisan is dus de eerste lentemaand.
Voor de Joden was de Exodus de bevrijding van de slavernij in Egypte. De lente is in symbolische zin ook te zien als een een soort bevrijding, het begin van nieuw leven; de dagen zijn weer langer dan de nachten, dus het is ook een soort wedergeboorte van het licht. Dit laatste is natuurlijk het duidelijkst bij de volle maan die volgens het Joodse kalendersysteem altijd op 15 Nisan valt en dat is dan ook precies de datum waarop de Joden de Exodus herdenken onder de naam Pascha of Pesach, wat overgang betekent. (Verder komt het natuurlijk mooi uit dat een (vrijwel) volle maan ook een uitstekende nachtelijke straatverlichting is voor pelgrims die op reis gingen om het paasfeest te vieren.)

Voor de Christenen heeft Pasen een geheel andere betekenis gekregen. Jezus werd namelijk gekruisigd op de dag van het Joodse paasfeest, dus op 15 Nisan, wat in dat jaar een vrijdag was (wat we nu dus Goede Vrijdag noemen). De Romeinen hebben waarschijnlijk niet voor niets deze Joodse feestdag uitgekozen voor de wrede terechtstelling die het in feite was. Vervolgens is - volgens de overtuiging van de Christenen - Jezus herrezen op de eerste zondag daarna en dat wordt door de Christenen beschouwd als de belangrijkste gebeurtenis uit de geschiedenis, die men jaarlijks wilde vieren of herdenken. De eerste paar eeuwen werden verschillende methoden gebruikt om te bepalen wanneer men dat moest vieren en het is niet meer nauwkeurig te achterhalen hoe men daarbij nu precies te werk ging. Omdat men het toch wel HEEL erg belangrijk vond om de verrijzenis van Christus op de juiste datum te vieren, is in 325 na Christus tijdens het Concilie van Nicæa besloten om de paasdatum officieel vast te stellen als:

Pasen is de eerste zondag na de de eerste volle maan in de lente.

(N.B. Hier kun je lezen dat dit niet helemaal precies waar is, maar dit is nu eenmaal wel door de eeuwen heen zo gesteld. Op een indirecte manier is het namelijk wel correct, zoals hier dus is uitgelegd.)

Het concilie van Nicæa

(Nicæa is de huidige Turkse stad Iznik), waar ook de (vermoedelijk) in 274 geboren Nicolaas van Myra aanwezig was (na zijn dood Sint geworden, inderdaad: Sinterklaas! – nu weet je ook meteen hoe oud die is),

Dus eigenlijk gewoon de zondag na 15 Nisan, precies zoals op de echte dag van de verrijzenis. Men koos ook heel bewust voor de zondag NA die eerste volle maan in de lente omdat men per se niet wilde dat het Christelijke paasfeest zou samenvallen met het Joodse.

Let wel dat het hier niet gaat om de moderne astronomische definities van "begin van de lente" en "volle maan", men rekende in die tijd eigenlijk alleen in hele dagen. Volle maan heette Luna XIV en dat is de veertiende hele dag nadat 's avonds voor het eerst weer de nieuwe maansikkel werd waargenomen, en men stelde dat de eerste dag van de lente per definitie 21 maart was, wat destijds XII Kalendas Aprilis werd genoemd.

Het bleef echter heel moeilijk om de zo gedefinieerde paasdatum nauwkeurig te voorspellen, omdat de maan zich nogal onregelmatig gedraagt. We weten nu dat dit komt doordat de maan in zijn omloop om de aarde nogal veel storingen ondervindt ten gevolge van de zwaartekracht van andere hemellichamen (met name de zon en Jupiter).

Ondertussen was men voor de tijdrekening al ruimschoots overgestapt op de door Julius Caesar ingevoerde en naar hem genoemde Juliaanse kalender, hetgeen een zonnekalender is. Caesar had geconstateerd dat de jaarkalender van 365 dagen 1 dag per 4 jaar te kort kwam en hij corrigeerde dat door elke 4 jaar een schrikkeldag toe te voegen. Het jaar duurt dan gemiddeld 365,25 dagen.

Reeds enkele eeuwen voor Christus had de Griek Meton ontdekt dat in 19 tropische jaren (gerekend van het begin van de lente tot het begin van de volgende lente) "precies" 235 maanmaanden pasten (een maanmaand is de periode van nieuwe maan tot de volgende nieuwe maan). Dat betekent dat na 19 jaar de maanfasen terugkeren op dezelfde dagen van het jaar. Binnen zo'n cyclus heeft elk jaar een volgnummer, het zogenoemde Gulden Getal (loopt cyclisch van 1 t/m 19).

In het jaar 525 heeft de monnik Dionysius Exiguus ("Dennis de mindere") op basis van deze cyclus een systeem ingevoerd voor het vaststellen van de paasdatum (de zogeheten "Egyptische methode" zoals hij het zelf noemt in zijn Liber de Paschate ("Boek over Pasen"), waarbij hij ook onze huidige Christelijke jaartelling heeft ingevoerd (hiermee kunnen we meteen een andere discussie afkappen: men is de jaartelling niet bij nul begonnen te tellen en ook niet bij één, maar bij DXXV). Omdat Dionysius daarbij gebruik maakte van de zojuist genoemde Juliaanse kalender wordt deze rekenmethode nu de Juliaanse paasdatumberekening genoemd. Hier vind je een Nederlandse vertaling van de oorspronkelijke tekst van het Liber de Paschate.

Dionysius had een tabel t/m het jaar 626 gemaakt, dus hij was zijn tijd een eeuw vooruit. Ook heeft hij een aantal rekenregels ("Argumenta Paschalia") beschreven. Zijn methode om de paasdatum te berekenen staat hieronder ("luna 14" betekent de veertiende dag van de maan als je bij het weer zichtbaar zijn van de nieuwe maan met 1 beginnen te tellen, en de paschale luna 14 is de eerste luna 14 op of na 21 maart; verder staat "paschaal" niet in Van Dale, maar je moet het lezen als "betrekking hebbend op of horend bij Pasen"):

argument 3:
bepaal de rest bij deling van het jaartal door 19,
vermenigvuldig dat met 11,
bepaal de rest bij deling van het resultaat door 30,
dit is de zogeheten epact of bijtelling van de maan ("adjectiones lunares").

argument 4:
deel het jaartal door 4 en rond dat af naar beneden,
tel dat op bij het jaartal,
tel daar nog 4 bij,
bepaal de rest bij deling door 7,
als dat nul is dan neem je 7 [argument 8],
het resultaat heet de samenvallende dag ("concurrentibus", feitelijk de weekdag (1 = zo t/m 7 = za) waarop 17,24,31 maart valt).

vervolgens (dit is echter in geen van de argumenten beschreven):
trek de epact af van 36,
is dat kleiner dan 21? dan tel je er 30 bij,
dit geeft de paschale luna 14 als een datum in maart (zelfs boven de 31!);
tel hier de samenvallende dag bij en trek er 17 vanaf,
bepaal daarvan de rest bij deling door 7,
is dat nul? dan maak je er 7 van [argument 8],
dit is de dag van de week waarop de paschale luna 14 valt (1 = zo t/m 7 = za);
trek dit af van de gevonden luna 14 en tel daar dan 8 bij,
is dat kleiner dan 32? dan is dat de paasdatum in maart;
anders trek je er 31 vanaf, dat geeft de paasdatum in april.

Omdat de werkelijke duur van het tropisch jaar iets korter is dan 365,25 dagen ging de Juliaanse kalender geleidelijk aan uit de pas lopen met de seizoenen (de lente begon b.v. niet meer op 21 maart). In de 16^e eeuw was dit verschil opgelopen tot 10 dagen en men vond het tijd voor een kalenderherziening. De toen regerende Paus Gregorius XIII heeft dat uitgevoerd. Hij had een boek gekregen dat door de inmiddels overleden Aloysius Lilius was geschreven en waarin eigenlijk een kant-en-klare oplossing stond. Een andere wiskundige, Christophorus Clavius, heeft een en ander verder uitgewerkt en zijn systeem gebruiken we vandaag nog steeds. Deze heren hadden geconstateerd dat de Juliaanse kalender elke 4 eeuwen 3 dagen teveel had en op hun advies heeft Paus Gregorius toen de kalender ingevoerd die wij nu nog gebruiken: de Gregoriaanse kalender. Het genoemde verschil van 10 dagen werd gecorrigeerd door bij de invoering van de nieuwe kalender eenvoudig 10 dagen over te slaan: men ging van donderdag 4 oktober 1582 in een keer over op vrijdag 15 oktober! Hier vind je Nederlandse vertalingen van de oorspronkelijke documenten van de Gregoriaanse kalenderhervorming.

Het eigenlijke verschil met de Juliaanse kalender is dat bij de Gregoriaanse kalender de eeuwwisselingen alleen maar een schrikkeljaar zijn als ze door 400 deelbaar zijn, waarmee de gemiddelde jaarlengte uitkomt op 365,2425 dagen. Dan zijn er per 400 jaar 3 schrikkeldagen minder dan bij de Juliaanse kalender en dat is precies wat daarmee fout was. Dit betekent dus dat het jaar 2000 een schrikkeljaar was, terwijl 1900 dat niet was en 2100 dat ook niet zal zijn.

Behalve dat de Juliaanse kalender niet volkomen nauwkeurig bleek te zijn, was in de loop der eeuwen ook de cyclus van Meton een beetje verschoven, omdat ook die natuurlijk niet exact is (ik had al gesteld dat het zonnestelsel niet met tandwielen in elkaar zit). Tegelijk met de invoering van de nieuwe kalender wilde Paus Gregorius daarom ook de paasdatum nauwkeuriger vaststellen. Sterker nog, daar ging het eigenlijk om. Dezelfde wetenschappers Lilius en Clavius hebben toen voor de paasdatum een verbeterde formule opgesteld.

Ze hadden vastgesteld dat de cyclus van Meton inmiddels, dus sinds het concilie van Nicæa, 4 dagen uit de pas liep. Dat is dus 4 dagen in 12,5 eeuwen en voor het rekengemak hanteerden ze een correctie van 8 dagen per 25 eeuwen, waarmee ze de gemiddelde maanmaand correct op de seconde nauwkeurig vaststelden op 29 dagen, 12 uur, 44 minuten en 3 seconden ofwel 29,53059 dagen. Overigens heeft de rekenkundige Joodse kalender die in 359 na Chr. is ingevoerd altijd al diezelfde nauwkeurigheid gehad, dus zo knap was het nou ook weer niet...

Hun formule (de z.g. Gregoriaanse methode) omvat 11 stappen, waarbij het resultaat van een deling altijd naar beneden wordt afgerond op een geheel getal (b.v. 13/10 = 1 en 57/20 = 2). Met "rest" wordt de rest van de deling bedoeld, dus b.v. rest (13/10) = 3 en rest (57/20) = 17. De formule luidt:

1:	a = 1 + rest (jaar / 19)	Dit is het z.g. gulden getal, een volgnummer in de 19-jarige z.g. maancyclus of cyclus van Meton. (In 19 tropische jaren passen vrijwel exact 235 maanmaanden, zodat elke 19 jaar de maanfasen zich op dezelfde dagen van het jaar herhalen. Dit is ver voor Christus reeds ontdekt door de Griek Meton).
2:	b = 1 + jaar / 100	Dit is gewoon de eeuwaanduiding.
3:	c = (b X 3) / 4 - 12	Dit is het "schrikkelverschil" tussen de Gregoriaanse en de Juliaanse kalender, gerekend vanaf de 16^e eeuw. Alle berekeningen in deze formule zijn gebaseerd op de eenvoudigere Juliaanse kalender en worden vervolgens waar nodig met de waarde van c gecorrigeerd.
4:	d = (b X 8 + 5) / 25 - 5	De bij stap 1 genoemde maancyclus is niet exact, hij verloopt 8 dagen per 25 (Juliaanse) eeuwen. Samen met stap 1 levert dit een tot op de halve seconde nauwkeurige gemiddelde maanmaand: (365,25 - 8 / 2500) x 19 / 235 = 29,53059 dagen.
5:	e = (jaar X 5) / 4 - c - 10	Dit is het jaarlijkse verloop van 21 maart over de dagen van de week.
6:	f = rest ( (a X 11 + 20 + d - c) / 30)	De volle maan komt binnen een maancyclus elk jaar 11 dagen eerder (365,25 - 12 x 29,53 = 10,89). Tevens wordt hier gecorrigeerd voor het verloop van de maancyclus (d) en het verschil tussen de Gregoriaanse en de Juliaanse kalender (c).
7:	als f = 24 of (f = 25 en a > 11) dan 1 bij f optellen	Zowel de "11" als de "30" in stap 6 zijn afgeronde waardes (10,89 en 29,53) waarvoor dit een correctie is.
8:	g = 44 - f	De eerste volle maan in de lente of de laatste er voor.
9:	als g kleiner dan 21 dan 30 bij g optellen	De eerste volle maan in de lente (let wel: de denkbeeldige rekenkundige maan van Lilius en Clavius).
10:	h = g + 7 - rest ( (g + e) / 7)	De eerste zondag daarna is Pasen.
11:	als h groter dan 31 dan: paaszondag = h - 31 april, anders: paaszondag = h maart.	En dat is dus h maart of h-31 april.

Het aardige van deze formule is dat - terwijl uitsluitend met eenvoudige gehele getallen wordt gerekend - de gemiddelde duur van deze kunstmatige maanmaand zoals reeds gezegd op de seconde nauwkeurig overeenkomt met de werkelijkheid (29,53059 dagen), zodat deze formule gedurende vele eeuwen geen correctie meer nodig heeft om in de pas te blijven lopen met de echte maan. Let wel dat de formule niet op ieder willekeurig moment de exacte maanfase geeft, alleen op langere termijn is hij gemiddeld zeer nauwkeurig in het bepalen van de eerste volle maan in de lente. Lilius en Clavius beseften zelf reeds dat deze denkbeeldige rekenkundige maan af en toe kan afwijken van wat de echte maan doet (hier vind je een door mijzelf via het Frans uit het Latijn naar het Nederlands vertaalde oorspronkelijke tekst van Clavius waarin dat staat en hier vind je een vergelijking van de door hen berekende ouderdom van de maan op 1 januari (de "epact") met de werkelijke ouderdom van de maan, waarbij 20 uur in acht is genomen voor het zichtbaar worden van de zeer smalle maansikkel). Meestal is het verschil zo klein dat de officiële berekende paasdatum toch gewoon valt op de eerste zondag na de werkelijke eerste volle maan na het astronomische echte begin van de lente, maar soms wijkt het en hele maand af, een verschijnsel dat paasparadox of paasanomalie wordt genoemd.

Deze nauwkeurigheid betreft overigens alleen de maan, helaas heeft de Gregoriaanse kalender toch nog een mankement: het tropisch jaar duurt slechts 365,24219 dagen en niet 365,2425. Daardoor zal het begin van de lente toch weer geleidelijk aan verschuiven naar data vóór 21 maart. (Momenteel begint de lente 3 van de 4 keer reeds op 20 maart!) Het verschil van 0,00031 dag komt neer op een verloop van 1 dag per 3226 jaar. De formule bepaalt dus niet de eerste volle (denkbeeldige) maan in de lente, maar de eerste volle maan op of na 21 maart (in stap 9). Lilius en Clavius hadden deze afwijking overigens zelf niet in de gaten en in al hun overmoed hadden ze maar vast tabellen opgesteld waarmee men de kalender kon vaststellen tot en met het jaar 800.000.000 (jawel, achthonderd miljoen! HIER, HIER en HIER kun je de oorspronkelijke tabellen bekijken!).

Door de eeuwen heen zijn beide gepresenteerde methodes (de Juliaanse en de Gregoriaanse) daadwerkelijk gebruikt voor de vaststelling van de paasdatum. Vóór 1583 werd uiteraard slechts de Juliaanse methode gebruikt. Vanaf 1583 is er echter een vrij lange periode waarin beide methodes naast elkaar werden gebruikt, omdat de meeste landen niet direct in 1582 mee overgingen naar de nieuwe Gregoriaanse kalender (Nederland b.v. pas onstreeks 1700 en Griekenland pas na 1900). Voor jaren vanaf 1583 dient men dus eerst na te gaan welke methode destijds daadwerkelijk werd gebruikt in het betreffende land. De in Oost-Europa dominerende Grieks-orthodoxe kerk hanteert om principiële redenen tot op de dag van vandaag de Juliaanse methode. Wel wordt daarvan het resultaat omgerekend naar de Gregoriaanse kalender, wat impliceert dat de aldus bepaalde paasdatum zelfs in mei kan vallen.

Via de Paasdatum-rekenmachine kunt u voor een vrij te kiezen reeks jaren de Paasdatum laten berekenen, alsmede de van Pasen afhankelijke data van carnaval (7 weken voor Pasen), Pinksteren (7 weken na Pasen) en Hemelvaart (10 dagen voor Pinksteren). Voor jaren t/m 1582 wordt de bovengenoemde Juliaanse methode gebruikt, vanaf 1583 de zojuist omschreven Gregoriaanse methode van Lilius en Clavius. U kunt daarmee ook nog andere algoritmes gebruiken, waarvan u een (Engelse) uitleg kunt krijgen door aldaar (of hier) op Algoritme te klikken. Uiteraard geven alle algoritmes hetzelfde resultaat, het is dus per saldo een kwestie van smaak welke rekenwijze u wilt gebruiken. Een in Nederlandse encyclopedieën vaak vermelde algoritme wordt hieronder nog uitgelegd.

Klik hier voor een overzicht van enkele interessante websites m.b.t. de paasdatumberekening.

Wie ooit in een encyclopedie op zoek gaat naar het trefwoord "paasdatum" wordt bijna onvermijdelijk geconfronteerd met de formule van Gauss, een groot wiskundige uit de 19e eeuw. Deze formule is iets korter en luidt:

1:	M = 24	Deze waarde geldt voor de 20^e t/m de 22^e eeuw. M verloopt met de eeuwen van 0 tot 29 (zie onderstaande tabel) en is feitelijk een correctie voor het verloop van de maancyclus overeenkomstig stap 4 van Lilius & Clavius.
2:	N = rest ( (4 + jaar/100 - jaar/400) / 7)	Correctie voor het "schrikkelverschil" tussen Gregoriaans en Juliaans.
3:	a = rest (jaar / 19)	Hier zien we de maancyclus terug.
4:	b = rest (jaar / 4)	Aantal (Juliaanse) schrikkeldagen.
5:	c = rest (jaar / 7)	21 maart verspringt elk (niet-schrikkel)jaar 1 dag.
6:	d = rest ( (19 X a + M) / 30)	De volle maan valt elk jaar 19 dagen later. Bij een maanmaand van 30 dagen is dat hetzelfde als 11 dagen eerder zoals in de formule van Lilius & Clavius.
7:	e = rest ( (2 X b + 4 X c + 6 X d + N) / 7)	Dag van de week van de volle maan.
8:	h = 22 + d + e	Eerste zondag na de eerste volle maan in de lente (ook dit is natuurlijk een denkbeeldige rekenkundige maan en niet de echte) is Pasen.
9:	als h = 57 of (h = 56 en e = 6 en a > 10) dan h met 7 verminderen.	Dit is een soortgelijke correctie als in stap 7 van de formule van Lilius en Clavius.
10:	als h groter dan 31 dan: paaszondag = h - 31 april anders: paaszondag = h maart.	Pasen valt op h maart of h-31 april.

In de meeste encyclopedieën wordt bij deze formule van Gauss stap 9 niet vermeld. Zonder die stap geeft Gauss echter niet dezelfde resultaten als Lilius en Clavius (probeer het maar eens zonder deze stap voor het jaar 1981). De eenvoudige berekening van N ben ik nog niet in een encyclopedie tegengekomen en hoe je M moet bepalen heb ik er ook nog nooit bij zien staan. Maar met onderstaande tabel kunt u voorlopig even vooruit; daarin staat M voor de jaren 1583 t/m 9999. Zoek het eerste cijfer van het jaartal in de meest linkse kolom, het tweede in de bovenste rij, dan vindt u op de bijbehorende "kruising" de waarde van M voor die eeuw:

	.0..	.1..	.2..	.3..	.4..	.5..	.6..	.7..	.8..	.9..
1...						22	22	23	23	24
2...	24	24	25	26	25	26	27	27	27	28
3...	28	29	29	29	0	1	0	1	2	2
4...	2	3	4	4	4	5	5	6	6	6
5...	7	8	7	8	9	9	9	10	10	11
6...	11	11	12	13	12	13	14	15	14	15
7...	16	16	16	17	17	18	18	18	19	20
8...	19	20	21	21	21	22	22	23	23	23
9...	24	25	25	25	26	27	26	27	28	28